Mates aplicadas 1. El sistema de numeración binario.

Mates aplicadas a la Informática.

—¡Yo es que no lo veo, profe! ¿Pero que relación van a tener las mates con la informática? ¡Si las mates no sirven para nada!

—¿Cómo se pueden poner satélites en órbita?

—Con fórmulas de Física.

—¿Cómo se puede predecir el tiempo con los datos que envía el satélite?

—Eso lo estudian los hombres del tiempo.

—¿Programar una aplicación para vuestro móvil forma parte de la Informática?

—Sí, pero eso se hace con códigos.

—¿Como éstos?

 

Fig. 5.1. La calculadora de Windows en lenguaje ensamblador mediante OllyDbg.

—¡Pues eso, profe, códigos!

—¿Y los números y letras que acompañan a los códigos?

—¡No nos los digas, profe… ¡Es álgebra!

—No es álgebra. Es un sistema de numeración que no conocéis. Y ahora que hemos demostrado su utilidad, vamos a estudiarlo.

Decimal	Binario	Hexadecimal	Octal
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	8	10
9	1001	9	11
10	1010	A	12
11	1011	B	13
12	1100	C	14
13	1101	D	15
14	1110	E	16
15	1111	F	17
16	10000	10	20
17	10001	11	21
18	10010	12	22
19	10011	13	23
20	10100	14	24

1. Sistemas binario, hexadecimal y octal.

Sabemos que los ordenadores solo entienden el lenguaje digital compuesto por dos señales. Presencia de voltaje (1) o ausencia de voltaje (0). Absolutamente todos los comandos, instrucciones e información que procesan los equipos informáticos deben ser traducidos en el nivel inferior a ceros y unos.

Se define bit (binary digit) como un posible estado lógico (0 o 1). Los bits se empaquetan en secuencias de 8, denominadas byte, 1024 bytes será un Kilobyte, 1024 Kb formará un Megabyte, 1024 Mb compondrán un Gigabyte y así sucesivamente. Debemos entender que esta aritmética no es decimal, basada en las potencias de diez, sino binaria, basada en las potencias de dos.

Nombre	Símbolo					Equivalencia
bit	b					1	bit	=	1 bit
byte	B					1	B	=	8 bit = 23
kilobyte	kB					1	kB	=	1024 Byte = 210
megabyte	MB					1	MB	=	1024 kB = 220
gigabyte	GB					1	GB	=	1024 MB = 230
terabyte	TB					1	TB	=	1024 GB = 240

1.1 Paso de decimal a binario y viceversa.

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Fig. 5.2. 15₁₀ = 1111₂

Decimal a binario: El número decimal se divide entre dos. El cociente obtenido se vuelve a dividir entre dos y así sucesivamente hasta que ya no se pueda seguir dividiendo entre dos. El número binario correspondiente es el formado por el último cociente y los restos tomados desde el último hasta el primero. Así 15₁₀ = 1111_{2 .} Se lee: quince en base diez es igual a "1111" en base dos.

Exactamente igual para el veintidós. Obtenemos:

22₁₀ = 10110₂ .

Fig. 5.3. 22₁₀ = 10110₂

Para pasar de binario a decimal debemos recordar que el sistema binario, al igual que el decimal, es un sistema de numeración posicional; cada cifra vale distinto en relación al lugar que ocupe.

Sistema no posicional: Números romanos XVI = 16. Las cifras valen lo mismo al margen de dónde se sitúen. Las cifras a la derecha suman, las cifras a la izquierda restan. En tiempos de la antigua Roma, las matemáticas se estancaron debido a esa numeración tan poco operativa.

Sistema posicional 1474₁₀ = 1*10³ + 4*10² + 7*10¹ + 4 = 1000 + 400 + 70 + 4 (* signo de multiplicación).

Como vemos, en nuestro sistema decimal las cifras valen distinto dependiendo de si se encuentran en el lugar de las unidades, decenas, centenas… El cuatro en las unidades vale 4*1 (10⁰ = 1), el 4 en las centenas vale 400 (4*10²).

Aplicaremos el mismo proceso en el paso de binario a decimal, excepto que las potencias serán de base dos; 2⁰ , 2¹ , 2² …

Fig. 5.4. 1111₂ = 15₁₀ 

 

Fig. 5.5. 10110₂ = 22₁₀